• 数字频率与模拟频率的关系与特点
  • 数字频率与模拟频率的定义
  • 为什么模拟角频率和数字角频率不一样
• 时域离散信号和时域离散系统
  • 时域离散信号
    • 常用的典型序列
    • 序列的运算
  • 时域离散系统
    • 线性系统
    • 时不变系统
    • 线性时不变系统及其输入与输出之间的关系
    • 系统的因果性和稳定性
  • 时域离散系统的输入输出描述法—线性常系数差分方程
    • 线性常系数差分方程
    • 线性常系数差分方程的求解
  • 模拟信号数字处理方法
    • 采样定理及A/D变换
    • 数字序列转换成模拟信号
• 时域离散信号和系统的频域分析
  • 时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质
    • DTFT的定义
    • DTFT的性质
    • 周期序列的离散傅里叶级数(DFS)
    • 周期序列的傅里叶变换表达式(FT)
      • 复指数序列$e^{j{\omega_0}n}$的$FT$
      • 周期序列的$FT$
      • 周期序列的$FT$与周期信号$FT$的联系
  • 时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系
  • 序列的$Z$变换
    • Z变换的定义及与序列的FT的关系
    • Z变换的性质
  • 利用Z变换分析信号和系统的频响特性
    • 频率响应函数与系统函数
      • 输入序列$e^{j{\omega}n}$的频率响应
    • 利用系统的零极点分布分析系统的频率响应特性
    • 几种特殊系统的系统函数及特点
      • 全通滤波器
      • 梳妆滤波器
• 离散傅里叶变换(DFT)
  • DFT的定义
    • 和DFS的比较
  • DFT的性质
    • 时/频域循环移位定理
    • 循环卷积定理
    • 复共轭序列的DFT及其对称性
    • 线性卷积和循环卷积的关系
  • 频率域采样
    • 由$X(k)$恢复出$x(n)$的条件
    • 如何由$X(k)$恢复$X(z)$和$X(e^{j\omega})$
  • 用DFT对信号进行频谱分析
    • 对连续信号进行频谱分析
    • 对序列进行频谱分析
    • 误差分析
      • 混叠现象
      • 栅栏效应
      • 截断效应

数字频率与模拟频率的关系与特点

link1、link2、link3

模拟频率、数字角频率和DFT频率分辨率

数字频率与模拟频率的定义

模拟频率$f$：每秒经历多少个周期，单位为$Hz$；

模拟角频率$\Omega$：每秒经历多少弧度，单位为$rad/s$；

数字角频率$\omega$：采样点之间的弧度，单位为$rad$。

数字信号是由模拟信号采样而来，采样频率不一样，采样点的时间就不一样。因此用每秒经历多少个周期已无多大意义，所以。

$\begin{cases} f{\to}s^{-1}\\ \Omega=2{\pi}f{\to}rad/s\\ \omega={\Omega}/f_s={\Omega}T_s{\to}rad\\ \end{cases} \\ \omega={\Omega}/f_s=2{\pi}{\color{blue}f/fs}{\qquad}(1-1)$

对于上式（1-1）的解释：

• 数字角频率$\omega$是模拟角频率$\Omega$对采样频率$f_s$的归一化；
• $f/f_s$是一个无量纲的数，$2{\pi}$代表着弧度；
• 即此频率（数字角频率：$rad$）非彼频率（模拟角频率：$rad/s$）。

数字角频率与采样频率有关：

$(...,-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi,...)\\(...,fs,-0.5fs,0,0.5fs,fs,...)$

为什么模拟角频率和数字角频率不一样

一个单位是$rad/s$，另一个是$rad$，肯定就不一样了啊。

模拟角频率$\Omega{\subset}(-\infin,+\infin)$，而数字角频率$\omega{\subset}(-\pi,\pi)$，当然也可以是$(0,2\pi)$。但由于数字角频率是具有周期性的，所以也可以认为数字角频率$\omega{\subset(-\infin,+\infin)}$，只不过是周期性的。

设$f_s=1Hz$，当$\Omega=\pi/8$和$\Omega=17\pi/8$时，抽样序列如下：可以看到虽然模拟角频率增加了$2\pi$，但是由于采样点数和采样值都相同，所以实际的离散序列也是一样的。这也体现出了离散序列的角频率是以$2\pi$为周期的。

MATLAB代码如下：

step = 64;  % 用于产生模拟信号的精度
t = 0:1/(2*step):20;
t = t';
w1 = pi / 8;
x1 = cos(w1 .* t);
w2 = pi * 17 / 8;
x2 = cos(w2 .* t);

fs = 1;
ts = 0:1/fs:20;
ts = ts';
% 下面的作用是查找ts元素离t中最近元素的索引
D = abs(bsxfun(@minus, ts.', t));
M = min(D, [], 1);
[Index, ~] = find(bsxfun(@eq, M, D));
x1n = x1(Index);  % x1的抽样序列
x2n = x2(Index);  % x2的抽样序列

subplot(211); plot(t, x1, 'b'); 
hold on; stem(ts, x1n, 'r');
title('$$\Omega=\frac{\pi}{8}$$', 'Interpreter', 'latex');
subplot(212); plot(t, x2, 'b'); 
hold on; stem(ts, x2n, 'r');
title('$$\Omega=\frac{17\pi}{8}$$', 'Interpreter', 'latex');
xlabel(['fs=', num2str(fs), 'Hz']);

时域离散信号和时域离散系统

信号、系统

时域离散信号

常用的典型序列

MATLAB产生各种典型序列

序列的运算

加、减、乘、除、反转等。

时域离散系统

线性系统

当系统T的输入为$x_1(n)$时，输出是$y_1(n)$；输入为$x_2(n)$时，输出是$y_2(n)$。若满足线性，则输入为$x_1(n)+x_2(n)$时，输出应为$y_1(n)+y_2(n)$；且输入为$ax_1(n)$时，输出是$ay_1(n)$。

$if{\quad} \begin{cases} y_1(n)=T\big[x_1(n)\big]\\ y_2(n)=T\big[x_2(n)\big]\\ \end{cases} \\ have{\quad} \begin{cases} T\big[x_1(n)+x_2(n)\big]=y_1(n)+y_2(n)\\ T\big[ax_1(n)\big]=ay_1(n) \end{cases}$

时不变系统

$if{\quad}y(n)=T\big[x(n)\big]\\ have{\quad}y(n-n_0)=T\big[x(n-n_0)\big]$

线性时不变系统及其输入与输出之间的关系

$系统单位冲激响应：{\quad}h(n)=T\Big[\delta(n)\Big]\\ 输入信号：x(n)=\sum_{m=-\infin}^{+\infin}x(m)\delta(n-m)\\ 则输出为：y(n)=T\Big[\sum_{m=-\infin}^{+\infin}x(m)\delta(n-m)\Big]\\ =\sum_{m=-\infin}^{+\infin}x(m)\Big[\delta(n-m)\Big]\\ 根据时不变性质有：\\ y(n)=\sum_{m=-\infin}^{+\infin}x(m)h(n-m)=x(n)*h(n)$

系统的因果性和稳定性

系统当前的输出只与之前的输入有关，后之后的输入无关。

$h(n)=0{\quad}n<0$

时域离散系统的输入输出描述法—线性常系数差分方程

线性常系数差分方程

$y(n)=\sum_{i=0}^{M}b_ix(n-i)-\sum_{i=1}^{N}a_iy(n-i)\\ or{\quad}\sum_{i=0}^{N}a_iy(n-i)=\sum_{i=0}^{M}b_ix(n-i){\quad}a_0=1$

差分方程的阶数是用方程$y(n-i)$项中$i$的最大取值与最小取值之差确定的，即上式是N阶线性常系数差分方程。

线性常系数差分方程的求解

• 经典解法：齐次解、特解
• 递推解法
• 交换域方法：将差分方程变换到$z$域
• 还可以由差分方程求出系统的单位脉冲响应，然后与已知的输入序列进行卷积运算。

模拟信号数字处理方法

采样定理及A/D变换

$x_a(t)$是模拟信号、$p_{\delta}(t)$是单位冲激序列、$\hat{x_a}(t)$是经理想采样后的信号。

$p_{\delta}(t)=\sum_{n=-\infin}^{+\infin}\delta(t-nT)\\ \hat{x_a}(t)=x_a(t)p_{\delta}(t)\\ \begin{cases} X_a(j\omega)=\mathscr{F}\Big[x_a(t)\Big]\\ \hat{X_a}(j\omega)=\mathscr{F}\Big[\hat{x_a}(t)\Big]\\ P_{\delta}(j\omega)=\mathscr{F}\Big[p_{\delta}(t)\Big]\\ \end{cases}$

下面推导理想采样信号的频谱与原模拟信号频谱的关系：

$\hat{X_a}(j\Omega)=\frac{1}{2\pi}X_a(j\Omega)*P_{\delta}(j\Omega)\\ ...\\ \hat{X_a}(j\Omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infin}^{+\infin}X_a(j\Omega-jk\Omega_s)$

上式表明理想采样信号的频谱是原模拟信号频谱沿频率轴，每间隔采样角频率$\Omega_s=2{\pi}F_S=\frac{2{\pi}}{T}$重复出现一次，并叠加而形成的周期函数。或者说理想采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以$\Omega_s$为周期，进行周期性延拓而成的。

因此，若要理想采样信号的频谱不重合，则需要满足：$\Omega_s{\ge}w_{max}$或$F_s{\ge}f_{max}$，这就是采样定理。

数字序列转换成模拟信号

如果$x(n)$是在满足抽样定理的条件下得到的，那么可以通过一个低通滤波器不失真地将原模拟信号$x_a(t)$恢复出来，低通滤波器的传输函数如下：

$G(j\Omega)= \begin{cases} T & \big|\Omega\big|<\frac{1}{2}\Omega_s\\ 0 & \big|\Omega\big|\ {\ge}\ \frac{1}{2}\Omega_s\\ \end{cases}$

其时域表达式为：

$g(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{+\infin}G(j\Omega)e^{j{\Omega}t}d_{\Omega}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\Omega_s/2}^{+\Omega_s/2}Te^{j{\Omega}t}d_{\Omega}=\frac{\sin({\Omega_s}t/2)}{{\Omega_s}t/2}\\ {\because}{\qquad}{\Omega_s}=2{\pi}F_s=2{\pi}/T\\ {\therefore}g(t)=\frac{\sin({\pi}t)/T}{{\pi}t/T}$

$g(t)$被称为内插函数。

$x(n)=x_a(nT)$是经$x_a(t)$满足采样定理采样后的离散信号，我们现在知道离散信号，如何恢复出模拟信号呢？转换公式如下（详细推导见DSP书第26页）：

$x_a(t)=\sum_{n=-\infin}^{+\infin}x_a(nT)\frac{\sin\Big[{\pi}(t-nT)\Big]\Big/T}{{\pi}(t-nT)\Big/T}$

实际中采用D/AC完成数字信号到模拟信号的转换，包括三部分：解码器、零阶保持器和平滑滤波器。框图如下：

由时域离散信号$x_a(nT)$恢复模拟信号的过程是内插过程。

时域离散信号和系统的频域分析

时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质

$x(t)$的傅里叶变换是$X(e^{j\omega})$，$x(n)$的傅里叶变换也是$X(e^{j\omega})$，在频域都是连续的。

DTFT的定义

推导：

${\because}{\quad}x(n)=x(t){\delta_T}(t)=x(t)\sum_{n=-\infin}^{\infin}{\delta}(t-nT)\\ {\therefore}{\quad} X(j\omega)={\mathscr{F}}[x(n)]=\int_{-\infin}^{+\infin}x(t)\sum_{n=-\infin}^{\infin}{\delta}(t-nT)e^{-j{\omega}t}d_t\\ =\sum_{n=-\infin}^{\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}x(t)\delta(t-nT)e^{-j{\omega}t}d_t\\ =\sum_{n=-\infin}^{\infin}x(nT)e^{-j{\omega}nT}\int_{-\infin}^{+\infin}\delta(t-nT)d_t\\ =\sum_{n=-\infin}^{\infin}x(nT)e^{-j{\omega}nT}$

令$T=1$，则变为：

$x(n)=x_a(nT)=x(t)\Big|_{t=nT}\\ \begin{cases} X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infin}^{+\infin}x(n)e^{-j{\omega}n}\\ \\ x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j{\omega}n}d_{\omega} \end{cases}$

DTFT的性质

• 周期性：$X(e^{j\omega})=X(e^{j{\omega+2{\pi}M}})$，周期为$2\pi$。

• 线性

• 时移和频移：

  $\Big[x(n-n_0)\Big]=e^{-j{\omega}n_0}X(e^{j\omega})\\ \Big[e^{j{\Omega_0}n}x(n)\Big]=X(e^{j({\omega}-{\Omega_0})})$

• 对称性：$x_e(n)$为共轭对称序列（其实部是偶函数、虚部是奇函数，即满足$x_e(n)=x_e^{*}(-n)$）；$x_o(n)$为共轭反对称序列（其实部是奇函数、虚部是偶函数，即满足$x_o(n)=-x_o^{*}(-n)$）。

  $x(n)={\color{blue}x_r(n)}+{\color{red}jx_i(n)}\\ X(e^{j\omega})={\color{blue}X_e(e^{j\omega})}+{\color{red}X_o(e^{j\omega})} \\ x(n)={\color{blue}x_e(n)}+{\color{red}x_o(n)}\\ X(e^{j\omega})={\color{blue}X_R(e^{j\omega})}+{\color{red}jX_I(e^{j\omega})}$

• 频域卷积定理:

$若{\quad}y(n)=h(n)x(n)\\ 则有{\quad}Y(e^{j\omega})=\frac{1}{2\pi}H(e^{j\omega})*X(e^{j\omega})\\ =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H(e^{j\theta})X(e^{j\theta})d_{\theta}$

• 帕斯维尔定理：信号时域的能量和频域的能量的关系。

  $$

  $$

周期序列的离散傅里叶级数(DFS)

$\widetilde{X(k)}=DFS[\widetilde{x(n)}]=\sum_{n=0}^{N-1}\widetilde{x(n)}e^{-j{\frac{2\pi}{N}}kn}{\qquad}(1)\\ \widetilde{x(n)}=IDFS[\widetilde{X(k)}]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\widetilde{X(k)}e^{j{\frac{2\pi}{N}}kn}{\qquad}(2)$

基波分量的频率为${2\pi}/N$，幅度是$(1/N){\widetilde{X}}(1)$，一个周期序列可以用其$DFS$系数$\widetilde{X}(k)$表示它的频谱分布规律。

周期序列的傅里叶变换表达式(FT)

复指数序列$e^{j{\omega_0}n}$的$FT$

首先推导复指数序列$e^{j{\omega_0}n}$的傅里叶变换如下：

$X(e^{j\omega})=\mathscr{F}[e^{j{\omega_0}n}]=\sum_{r=-\infin}^{+\infin}2{\pi}\delta\Big({\omega}-({\omega_0}+2{\pi}r)\Big){\quad}r为整数$

上式表明：复指数序列$e^{j{\omega_0}n}$的$FT$是在$\omega_0+2{\pi}r$处的单位冲激函数，强度为$2\pi$。

周期序列的$FT$

一般周期序列都能表示成不同复指数序列$e^{j{\omega}n}$的叠加，因此再根据线性就可以得出该周期序列的傅里叶变换：

$\widetilde{x(n)}=a_0e^{j{\omega_0}n}+a_1e^{j{\omega_1}n}+...+a_me^{j{\omega_m}n}\\$

或者这样考虑，对一般周期序列$\widetilde{x(n)}$展开成$DFS$，第k次谐波为$(\widetilde{X(k)}/N)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}$，类似于复指数序列的$FT$，其$FT$为：

$\color{blue}\sum_{r=-\infin}^{+\infin}2{\pi}\frac{\widetilde{X(k)}}{N}\delta\Big({\omega}-({\frac{2\pi}{N}k}+2{\pi}r)\Big){\quad}r为整数$

上面是第k次谐波的$FT$，那么整个周期序列的$FT$为：

$X(e^{j\omega})={\mathscr{F}}[\widetilde{x(n)}]=\sum_{k=0}^{N-1}{\color{blue}\sum_{r={-\infin}}^{+\infin}2{\pi}\frac{{\widetilde{X(k)}}}{N}\delta\Big({\omega}-({\frac{2\pi}{N}k}+2{\pi}r)\Big){\quad}r为整数}\\$

式中，$K=0,1,2,...,N-1$。如果让k在$-\infin$到$+\infin$区间变换，上式可简化为：

$X(e^{j\omega})=\sum_{k={-\infin}}^{\infin}{2\pi}\frac{\widetilde{X(k)}}{N}\delta(\omega-\frac{2\pi}{N}k)\\ 式中{\qquad}{\widetilde{X(k)}}=\sum_{n=0}^{N-1}\widetilde{x(n)}e^{-j{\frac{2\pi}{N}}kn}$

对于同一个周期信号，其DTS和FT的模的形状是一样的，不同的是FT用单位冲激函数表示（用带箭头的竖线表示）。因此周期序列的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。

周期序列的$FT$与周期信号$FT$的联系

还记得周期信号$f_T(t)$的傅里叶变换$(F_T(j\omega))$是什么吗？（省略掉推导）：

$F_T(jw)=\sum_{n=-\infin}^{\infin}2{\pi}F_n{\delta}(\omega-n\omega_0)\\ F(e^{j\omega})=\sum_{k=0}^{N-1}{\color{blue}\sum_{r={-\infin}}^{+\infin}2{\pi}\frac{{\widetilde{F(k)}}}{N}\delta\Big({\omega}-({\frac{2\pi}{N}k}+2{\pi}r)\Big){\quad}r为整数}\\$

上式表明：周期信号的傅里叶变换由无穷多个出现在谐波频率$n\omega_0$上的冲激函数组成，每一冲激的强度为傅里叶系数$F_n$乘上$2\pi$。

看出来周期序列和周期信号的傅里叶变换有什么关系了吗？其实两者是一样的：

• 都是由不同位置的冲激叠加而成；
• 冲激的强度都是傅氏系数乘上$2\pi$（复指数序列的系数为1）。

但也有不同点，就是冲激位置的规律有点不一样：

• 周期信号的冲激在谐波频率$n\omega_0$上
• 周期序列的冲激在$\frac{2{\pi}}{N}k+2{\pi}r,r$为整数​处，具有周期性为$2\pi$。

为什么会出现周期性呢？并且周期为$2\pi$，请看数字频率与模拟频率的关系与特点。

时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系

$X(e^{j{\Omega}T})=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infin}^{\infin}X_a(j\Omega-jk\Omega_s)\\ X(e^{j\omega})=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infin}^{\infin}X_a(j\frac{\omega-2{\pi}k}{T})\\ \Omega_s=2{\pi}F_s=\frac{2\pi}{T}$

上式表明：时域离散信号的频谱也是(前面说的是理想采样信号)模拟信号频谱的周期性延拓，周期为$\Omega_s=2{\pi}F_s=\frac{2{\pi}}{T}$。

序列的$Z$变换

Z变换的定义及与序列的FT的关系

$X(z)=^{def}=\sum_{n=-\infin}^{+\infin}x(n)z^{-n}\\ \sum_{n=-\infin}^{+\infin}\Big|x(n)z^{-n}\Big|<{\infin}\\$

$Z$变换的收敛域一般是一个环带状，即$R_{x-}<\big|z\big|<R_{x+}$。如果$Z$变换的收敛域包括单位圆，那么：

$X(e^{j\omega})=X(z)\Big|_{z=e^{j\omega}}$

即单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换（前提是在单位圆上收敛）。

Z变换的性质

设$X(z)=\big[x(n)\big]{\quad}R_{x-}<\big|z\big|<R_{x+}$，则有如下性质：

• 线性

• 移位性质：

  $\big[x(n-n_0)\big]=z^{-n_0}X(z){\quad}R_{x-}<\big|z\big|<R_{x+}$

• 序列乘以指数序列的性质：

  $y(n)=a^{n}x(n)\\ Y(z)=\big[a^{n}x(n)\big]=X(a^{-1}Z){\quad}|a|R_{x-}<\big|z\big|<|a|R_{x+}$

• 序列乘以n的ZT

  $X(z)=\big[nx(n)\big]=-z\frac{dX(z)}{dz}{\quad}R_{x-}<\big|z\big|<R_{x+}$

• 复共轭序列的ZT

  $X(z)=\big[x^{*}(n)\big]=X^{*}(z^{*}){\quad}R_{x-}<\big|z\big|<R_{x+}$

• 初值定理：$x(n)$是因果序列，则：

  $x(0)=\lim_{z{\to}\infin}X(z)$

• 终值定理：$x(n)$是因果序列，其$Z$变换的极点除可以有一个一阶极点在$z=1$上，其它极点都在单位圆内，则：

  $\lim_{n{\to}\infin}x(n)=\lim_{z{\to}1}(z-1)X(z)$

• 时域卷积定理：$W(z)$的收敛域就是$X(z)$和$Y(z)$的公共收敛域。

  $W(z)=\big[x(n)^{*}y(n)\big]=X(z)Y(z){\quad}R_{w-}<\big|z\big|<R_{w+}\\ R_{w+}=\min{\big[R_{x+},R_{y+}\big]}\\ R_{w-}=\max{\big[R_{x-},R_{y-}\big]}\\$

• 复卷积定理：不常用

• 帕斯维尔定理：不常用

利用Z变换分析信号和系统的频响特性

频率响应函数与系统函数

设系统初始状态为0，系统对$\delta(n)$的响应$h(n)$的傅里叶变换$H(e^{j\omega})$称为系统的频率响应函数，即：

$H(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infin}^{+\infin}h(n)e^{-j{\omega}n}=\Big|H(e^{j{\omega}n})\Big|e^{j\phi(\omega)}\\ \begin{cases} 幅频特性：\Big|H(e^{j{\omega}n})\Big|\\ 相频特性：\phi(\omega) \end{cases}$

将序列$h(n)$进行Z变换得到$H(z)$，这就是该系统的系统函数，即：

$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{i=0}^{M}b_iz^{-i}}{\sum_{i=0}^{N}a_iz^{-i}}$

如果Z变换的收敛域包含单位圆，则：

$H(e^{j\omega})=H(z)\Big|_{z=e^{j\omega}}$

输入序列$e^{j{\omega}n}$的频率响应

$y(n)=h(n)^{*}x(n)=...=H(e^{j\omega})e^{j{\omega}n}\\ =\Big|H(e^{j{\omega}n})\Big|e^{j\big[{\omega}n+\phi(\omega)\big]}\\$

上式说明：单频复指数序列$e^{j{\omega}n}$通过频率响应函数为$H(e^{j\omega})$的系统后，输出还是单频复指数序列，只不过幅度放大$\Big|H(e^{j{\omega}n})\Big|$倍，相移为$\phi(\omega)$。

利用系统的零极点分布分析系统的频率响应特性

$H(z)=A\frac{\prod_{r=1}^M(1-c_rz^{-1})}{\prod_{r=1}^{N}(1-d_rz^{-1})} \\ |H(e^{j\omega})|=|A|\frac{\prod_{r=1}^M|z_r|}{\prod_{r=1}^N{|P_r|}} \\ \phi(\omega)=\omega(N-M)+\sum_{r=1}^{N}\alpha_r-\sum_{r=1}^{M}\beta_r$

即：

• 幅频响应等于所有的零点到$\omega$的模长的乘积除以所有的极点到$\omega$的模长的乘积；
• 相频响应等于所有的零点与$\omega$形成的夹角之和减去所有的极点与$\omega$形成的夹角之和。

几种特殊系统的系统函数及特点

全通滤波器

$|H(e^{j\omega})|=1{\quad}0{\le}\omega{\le}2\pi$

梳妆滤波器

$H(z^{N})=\frac{1-z^{-N}}{1-az^{-N}}{\qquad}0<a<1$

梳妆滤波器可以滤除输入信号中$\omega=\frac{2\pi}{N}k,\ k=0,1,...,N-1$的频率分量，可以滤除电网谐波干扰和其它频谱等间隔分布的干扰。当$a=1$时就变成了全通滤波器，下面给出频率响应和零极点分布的$MATLAB$代码：

% y(n) -0.9y(n-8) = x(n) - x(n-8);
% H(z) = (1 - z^-8) / (1 - 0.9z^-8)
B = [1 0 0 0 0 0 0 0 -1];
A = [1 0 0 0 0 0 0 0 -0.9];
% impz(B, A, 200);
% [Z, P, K] = tf2zp(B, A)
zplane(B, A);
legend('零点', '极点');
title('$$ H(z) = \frac{1-z^{-8}}{1-0.9z^{-8}}$$', ...
    'Interpreter', 'latex');

[H, w] = freqz(B, A, 500, 'whole');
Hm = abs(H);
Hp = angle(H);
subplot(2, 1, 1);
plot(w, Hm), grid on;
xlabel('\omega(rad/s)');
ylabel('Magnitude');
title('幅频特性曲线');
subplot(2, 1, 2);
plot(w, Hp), grid on;
xlabel('\omega(rad/s)');
ylabel('Phase');
title('相频特性曲线');

$a=0.2$时的频率响应和零极点分布图：

$a=0.9$时的频率响应和零极点分布图：

离散傅里叶变换(DFT)

对离散时间序列$x(n)$进行FT得到的结果在频域仍然是连续的，不便于计算机处理。因此目的是对频域也进行离散化，方法有多种，如DFT、DFS。对于DFS，主要步骤就是对$x(n)$进行周期性延拓，然后计算其傅里叶级数，该结果和DFT的结果是有关联的。

DFT的定义

$X(k)=DFT[x(n)]=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{kn}{\quad}k=0,1,...,N-1\\ x(n)=IDFT[X(k)]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(K)W_N^{-kn}{\quad}n=0,1,...,N-1\\ W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}\\$

将$W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}$带入即得：

$X(k)=DFT[x(n)]=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}{\quad}k=0,1,...,N-1\\ x(n)=IDFT[X(k)]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}{\quad}n=0,1,...,N-1$

和DFS的比较

$DFS: \begin{cases} \widetilde{X(k)}=DFS[\widetilde{x(n)}]=\sum_{n=0}^{N-1}\widetilde{x(n)}e^{-j{\frac{2\pi}{N}}kn}{\qquad}(1)\\ \\ \widetilde{x(n)}=IDFS[\widetilde{X(k)}]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\widetilde{X(k)}e^{j{\frac{2\pi}{N}}kn}{\qquad}(2)\\ \end{cases} \\ DFT: \begin{cases} X(k)=DFT[x(n)]=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}{\quad}k=0,1,...,N-1{\quad}(3)\\ \\ x(n)=IDFT[X(k)]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}{\quad}n=0,1,...,N-1{\quad}(4)\\ \end{cases}$

其实没有什么不同，只是对序列的取值有限定，这样的限定有如下结论：

• 如果$s(n)$是周期序列，周期为$N$，那么其一个周期$s_{1N}(n)$的$N$点$DFT$就等于其$DFS$的主值序列。即：

  $$

  $$

  $$

  $$

设序列$x(n)$的长度为M。

$X(z)=ZT[x(n)]=\sum_{n=0}^{M-1}x(n)z^{-n}{\quad}(1)\\ X(e^{j\omega})=DTFT[x(n)]=\sum_{n=0}^{M-1}x(n)e^{-j{\omega}n}{\quad}(2)\\ X(k)=DFT[x(n)]_N=\sum_{n=0}^{M-1}x(n)W_N^{kn}\\ =\sum_{n=0}^{M-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}{\quad}k=0,1,...,N-1{\quad}(3)$

• 序列$x(n)$的N点DFT-$X(k)$是$x(n)$的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样；

  $$

  $$

  $$

  $$

${\because}{\quad}W_N^k=W_N^{k+mN}{\qquad}k,m为整数，N为自然数\\ {\therefore}{\quad}X(k+mN)=...=X(k)$

任何周期为N的周期序列$\widetilde{x(n)}$都可以看做长度为N的有限长序列$x(n)$的周期性延拓序列，而$x(n)$是$\widetilde{x(n)}$的一个周期，即：

$\widetilde{x(n)}=\sum_{m=-\infin}^{+\infin}x(n+mN)\\ x(n)=\widetilde{x(n)}R_N(n)$

有限长序列$x(n)$的N点DFT的结果$X(k)$恰好是$x(n)$的周期性延拓序列$x((n))_N$的DFS的结果$\widetilde{X(k)}$的主值序列，即：

$X(k)=\widetilde{X(k)}R_N(k)$

因此$X(k)$实质上就是$x(n)$的周期延拓序列$x((n))_N$的频谱特性。

DFT的性质

线性

时/频域循环移位定理

$时域循环移位定理 \begin{cases} & y(n)=x((n+m))_NR_N(n)\\ & Y(k)=DFT[y(n)]=W_N^{-km}X(k)\\ \end{cases} \\ 频域循环移位定理 \begin{cases} & Y(k)=X((k+l))_NR_N(k)\\ & y(n)=IDFT[Y(K)]_N=W_N^{nl}x(n) \end{cases}$

循环卷积定理

$if{\quad}x(n)=x_2(n){\color{blue}*_L}x_1(n)\\ =[\sum_{m=0}^{N-1}x_2(m)x_1((n-m))_N]R_N(n) \\ have{\quad}X(k)=DFT[x(n)]_N=X_1(k)X_2(k)\\ X_1(k)=DFT[x_1(n)]\\ X_2(k)=DFT[x_2(n)]\\$

复共轭序列的DFT及其对称性

$x(n)=x_{ep}(n)+x_{op}(n)\\ X(k)=X_R(k)+jX_I(k)\\ X_R(k)=DFT[x_{ep}(n)]\\ jX_I(k)=DFT[x_{op}(n)]\\$

线性卷积和循环卷积的关系

$y_c(n)=\Big[\sum_{i=-\infin}^{\infin}y_l(n+iL)\Big]R_L(n)$

即循环卷积等于线性卷积以L为周期进行周期延拓后的序列的主值序列，若要求循环卷积和线性卷积相等，则需要周期延拓后无混叠，即$L{\ge}N+M-1$。

频率域采样

由$X(k)$恢复出$x(n)$的条件

如何从x(n)N推导出x(n)呢？下面直接给出结论：

$x_N(n)=\widetilde{x(n)}R_N(n)\\ =\Big[\sum_{i=-\infin}^{\infin}x(n+iN)\Big]R_N(n)$

如果序列$x(n)$的长度为M，则只有当频域采样点数$N{\ge}M$时，才有：

$x_N(n)=IDFT\Big[X(k)\Big]=x(n)$

即可由频域采样值$X(k)$恢复出原序列$x(n)$，否则产生时域混叠现象。

如何由$X(k)$恢复$X(z)$和$X(e^{j\omega})$

结论如下，省略推导：

$X(z)=\sum_{k=0}^{N-1}X(k)\frac{1}{N}\frac{1-z^{-N}}{1-W_N^{-k}z^{-1}}\\ =\sum_{k=0}^{N-1}X(k){\phi}_k(z)\\$

将$z=e^{j\omega}$带入上式得：

$X(e^{j\omega})=\sum_{k=0}^{N-1}X(k){\phi}({\omega}-\frac{2\pi}{N}k)\\ {\phi}(\omega)=\frac{1}{N}\frac{sin({\omega}N/2)}{\sin({\omega}/2)}e^{-j{\omega}(\frac{N-1}{2})}$

上式中$X(z)$表示内插公式，$\phi_k(z)$称为内插函数。

用DFT对信号进行频谱分析

对连续信号进行频谱分析

$X_a(kF)=TX(k)=T{\cdot}DFT[x(n)_N]{\quad}k=0,1,...,N-1$

上式表明，可以通过对连续信号采样并进行$DFT$再乘$T$，近似得到模拟信号频谱的周期延拓函数在第一个周期$\Big[0,F_s\Big]$上的N点等间隔采样$X_a(kF)$。

$T_p$和$N$可以按照下面两式进行选择：

$N > \frac{2f_c}{F}\\ T_p > \frac{1}{F}$

$f_c$是信号最高频率，$F$是谱分辨率，$T_p$是信号持续时间。

对序列进行频谱分析

略

误差分析

混叠现象

采样速率必须满足采样定理，否则会在$\omega=\pi$（对应模拟频率$f=F_s/2$）附近发生频谱混叠现象。一般在采样前进行预滤波，滤除高于折叠频率$F_s/2$的频率成分，以免发生频谱混叠现象。

栅栏效应

N点DFT是在频率区间$[0,2\pi]$上对时域离散信号的频谱进行N点等间隔采样，而采样点之间的频谱是看不到的。对有限长序列，可以在原序列尾部补零；对无限长序列，可以增大截取长度及DFT变换区间长度，从而使频域采样间隔变小，增加频域采样点数和采样点位置，使原来漏掉的某些频谱成分被检测出来。

截断效应

实际中遇到的$x(n)$可能是无限长的，用DFT对其进行频谱分析时，必须将其截短，形成有限长序列$y(n)=x(n)w(n)$，$w(n)$称为窗函数，长度为N。