通信原理

通信系统一般模型

graph LR
信源 --> 发送机
发送机  --> 信道
信道 --> 接收机
接收机 --> 信宿
噪声 --> 信道

模拟通信系统时:

  • 发送机:调制
  • 接收机:解调

数字通信系统时:

  • 发送机:信源编码、信道编码、调制
  • 接收机:解调、信道译码、信源译码

数字[模拟]通信系统的主要性能指标:

  • 有效性[传输带宽]
  • 可靠性[信噪比]

香农公式

C=Blog2(1+SN)C=B\log_2^{(1+\frac{S}{N})}

内积、能量与许瓦兹不等式

令信号x(t),y(t)为任意信号,一般情况可以是时间的复函数,称

<x,y>=+x(t)y(t)dt<x,y>=\int_{-\infin}^{+\infin}x^*(t)y(t)d_t

为x(t),y(t)的内积、且

+x(t)y(t)dt=+X(f)Y(f)df\int_{-\infin}^{+\infin}x^*(t)y(t)d_t=\int_{-\infin}^{+\infin}X^*(f)Y(f)d_f

信号与其自身的内积就是能量:Ex=+x(t)2dtE_x=\int_{-\infin}^{+\infin}|x(t)|^2d_t

周期信号的傅里叶级数:

fT(t)=a02+n=1(ancos(nω0t)+bnsin(nω0t))n=0,1,2,...an=2Tt0t0+TfT(t)cos(nω0t)dtn=0,1,2,...bn=2Tt0t0+TfT(t)sin(nω0t)dtn=0,1,2,...f_T(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infin}(a_n{\cos}(n{\omega_0}t)+b_n{\sin}({n\omega_0}t)){\qquad}n=0,1,2,...\\ 其中\\ a_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f_T(t)\cos(n{\omega_0}t)d_t{\qquad}n=0,1,2,...\\ b_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f_T(t)\sin(n{\omega_0}t)d_t{\qquad}n=0,1,2,...\\

或者写成指数形式

f(t)=12π++f(t)ejωtdtejωtdωF(jw)=+f(t)ejωtdt(1)f(t)=12π+F(jw)ejωtdω(2)f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}f(t)e^{-j{\omega}t}d_te^{j{\omega}t}d_{\omega}\\ F(jw)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(t)e^{-j{\omega}t}d_t{\qquad}(1)\\ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{+\infin}F(jw)e^{j{\omega}t}d_{\omega}{\qquad}(2)

傅里叶变换

f(t)=12π++f(t)ejωtdtejωtdωF(jw)=+f(t)ejωtdt(1)f(t)=12π+F(jw)ejωtdω(2)f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}f(t)e^{-j{\omega}t}d_te^{j{\omega}t}d_{\omega}\\ F(jw)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(t)e^{-j{\omega}t}d_t{\qquad}(1)\\ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{+\infin}F(jw)e^{j{\omega}t}d_{\omega}{\qquad}(2)

某个域中的面积等于另一个域中的原点,即:

x(0)=+X(f)dfX(0)=+x(t)dtx(0)=\int_{-\infin}^{+\infin}X(f)d_f\\ X(0)=\int_{-\infin}^{+\infin}x(t)d_t

能量信号的能量及其能量谱密度

E=+f2(t)dt=...=+F(f)2dfE(f)=F(f)2E=\int_{-\infin}^{+\infin}f^2(t)d_t=...=\int_{-\infin}^{+\infin}|F(f)|^2d_f\\ E(f)=|F(f)|^2

功率信号的功率及其功率谱密度

P(f)=limT>F(f)2TF(f)f(t)P=+P(f)dfP(f)=lim_{T->\infin}\frac{|F(f)|^2}{T}\\ F(f)是f(t)的频谱函数\\ P=\int_{-\infin}^{+\infin}P(f)d_f

确定信号的相关函数

能量信号x(t)与其时延X(t+τ\tau)的内积称为x(t)的自相关函数:

Rx(τ)=+x(t)x(t+τ)dtEx(f)=X(f)2=+Rx(τ)ej2πfτdτR_x(\tau)=\int_{-\infin}^{+\infin}x^*(t)x(t+\tau)d_t\\ 因此有{\qquad}E_x(f)=|X(f)|^2=\int_{-\infin}^{+\infin}R_x(\tau)e^{-j{2\pi}f\tau}d_{\tau}

确定信号通过线性系统

y(t)=+x(u)h(tu)duY(f)=H(f)X(f)y(t)=\int_{-\infin}^{+\infin}x(u)h(t-u)d_u\\ Y(f)=H(f)X(f)

希尔伯特变换和解析信号

希尔伯特变换就是经过一个冲激响应为1πt\frac{1}{{\pi}t}的线性系统,它本质是一个理想的宽带相移器。
解析信号就是z(t)=f(t)+jf^(t)z(t)=f(t)+j\hat{f}(t),其中f^(t)\hat{f}(t)f(t)f(t)的希尔伯特变换,即虚部是实部的希尔伯特变换。

随机变量的统计特征

单个随机变量的统计特征:

  • 分布函数、概率密度函数
  • 数字特征
    1. 数学期望(统计平均值、均值)
    2. 方差(偏离程度)。且有D[X]=E[XE[X]]2=E(X2)E2(X)=δX2D[X]=E[X-E[X]]^2=E(X^2)-E^2(X)=\delta_X^2

多个随机变量的统计特征

  • 联合分布函数:F(x,y)=P(Xx,Yy)F(x,y)=P(X{\le}x,Y{\le}y),如果αF(x,y)αxαy=p(x,y)\frac{\alpha{F(x,y)}}{\alpha{x}\alpha{y}}=p(x,y)存在,则称其为随机变量X和Y的联合概率密度函数。
  • 数字特征
    1. 数学期望
      1. E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)
      2. E(XY)=E(X)E(y)E(XY)=E(X)E(y),前提是变量X和Y相互独立
    2. 方差:D(X+Y)=D(X)+D(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y),前提是变量X和Y相互独立
    3. 相关函数:R(X,Y)=E(XY)=++xyp(x,y)dxdyR(X,Y)=E(XY)=\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}xyp(x,y)d_xd_y
    4. 协方差函数:C(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}=R(X,Y)mXmYC(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}=R(X,Y)-m_Xm_Y
    5. 归一化协方差函数(相关系数):ρXY=C(X,Y)δXδY{\rho}_{XY}=\frac{C(X,Y)}{{\delta_X}{\delta_Y}}

随机过程的统计特征

一个随机过程的统计特征

  • 数学期望(统计平均值):E[X(t)]=+xp(x;t)dt=mX(t)E[X(t)]=\int_{-\infin}^{+\infin}xp(x;t)d_t=m_X(t)
  • 方差:D[X(t)]=E[X2(t)]E2[X(t)]=+x2p(x;t)dxmX2(t)D[X(t)]=E[X^2(t)]-E^2[X(t)]=\int_{-\infin}^{+\infin}x^2p(x;t)d_x-m_X^2(t)
  • 自相关函数:RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=++x1x2p(x1,x2;t1,t2)dx1dx2R_X(t_1,t_2)=E[X(t_1)X(t_2)]=\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}x_1x_2p(x_1,x_2;t_1,t_2)d_{x_1}d_{x_2}
  • 自协方差:CX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]mX(t1)mX(t2)C_X(t_1,t_2)=E[X(t_1)X(t_2)]-m_X(t_1)m_X(t_2)
  • 归一化协方差函数:ρX(t1,t2)=CX(t1,t2)δX(t1)δX(t2){\rho}_X(t_1,t_2)=\frac{C_X(t_1,t_2)}{{\delta}_X(t_1){\delta}_X(t_2)}

两个随机过程的统计特征

……

平稳随机过程

严平稳随机过程定义:随机过程X(t)的任意n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。

宽平稳随机过程的定义:①均值为常数②自相关函数仅与时间间隔相关

各态经历性:x(t)是平稳随机过程X(t)的任意一个样本函数,满足E[X(t)]=x(t)ˉ,E[X(t)X(t+τ)]=x(t)x(t+τ)ˉE[X(t)]=\bar{x(t)},E[X(t)X(t+\tau)]=\bar{x(t)x(t+\tau)}

平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数的关系

DefPX(f)=limT>E[XT(f)2]TRX(τ)=+PX(f)ej2πfτdfPX(f)=+RX(τ)ej2πfτdτDef:P_X(f)=lim_{T->\infin}\frac{E[|X_T(f)|^2]}{T}\\ R_X(\tau)=\int_{-\infin}^{+\infin}P_X(f)e^{j2{\pi}f\tau}d_f\\ P_X(f)=\int_{-\infin}^{+\infin}R_X(\tau)e^{-j2{\pi}f\tau}d_{\tau}\\

高斯过程的定义及性质

随机过程的任意n维分布都是正态分布,它完全取决于n个随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数。性质如下:

  1. 宽平稳和严平稳是等价的
  2. 任何两个时刻的随机变量统计独立不相关是等价的
  3. 若干个高斯过程之和仍是高斯过程
  4. 经过线性系统后,输出仍是高斯过程

加性高斯白噪声(AWGN)

白噪声:功率谱密度均匀分布在整个频域范围内

  • 其双边功率谱表示为:Pn(f)=N0/2(<f<+)P_n(f)=N_0/2{\qquad}(-\infin<f<+\infin)
  • 单变功率谱表示为:Pn(f)=N0(0f<+)P_n(f)=N_0{\qquad}(0{\le}f<+\infin)

[加性]高斯白噪声:指即服从高斯分布、功率谱密度又是均匀分布的噪声。(一般都是指零均值加性高斯白噪声)

平稳随机过程通过线性系统

什么是输入?:平稳随机过程x(t)或X(t)
输出是什么?:

y(t)=x(t)h(t)=+x(tτ)h(τ)dτorY(t)=X(t)h(t)=+X(tτ)h(τ)dτy(t)=x(t)*h(t)=\int_{-\infin}^{+\infin}x(t-\tau)h(\tau)d_{\tau}\\ or\\ Y(t)=X(t)*h(t)=\int_{-\infin}^{+\infin}X(t-\tau)h(\tau)d_{\tau}

随机过程**Y(t)**的数学期望:

E[X(t)]=mxH(0)E[X(t)]=m_xH(0)

随机过程**Y(t)**的自相关函数:

RY(t1,t1+τ)=++h(α)h(β)RX(τ+αβ)dαdβR_Y(t_1,t_1+\tau)=\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}h(\alpha)h(\beta)R_X(\tau+\alpha-\beta)d_{\alpha}d_{\beta}

随机过程**Y(t)**的功率谱密度:

PY(f)=H(f)2PX(f)P_Y(f)=|H(f)|^2P_X(f)

匹配滤波器

定义:采用一种线性滤波器,当信号和加性高斯白噪声通过它时,在某一特定抽样时刻,输出信噪比(信号瞬时功率与噪声平均功率之比)达到最大,此时这种线性滤波器就是匹配滤波器。

输入是什么?信号+噪声,即s(t)+nW(t)s(t)+n_W(t),且噪声是加性高斯白噪声。
目标是什么?找到输出信噪比(信号瞬时功率与噪声平均功率之比)最大的线性滤波器。
怎么找?如下:

so(t)=+So(f)ej2πftdf=+S(f)H(F)ej2πftdfPno(f)=Pio(f)H(f)2=N02H(f)2minSNRo=so(t)2Pno(f)gotH(f)=KS(f)ej2πft0alsoh(t)=Ks(t0t)s_o(t)=\int_{-\infin}^{+\infin}S_o(f)e^{j2{\pi}ft}d_f=\int_{-\infin}^{+\infin}S(f)H(F)e^{j2{\pi}ft}d_f\\ P_{no}(f)=P_{io}(f)|H(f)|^2=\frac{N0}{2}|H(f)|^2\\ min{\quad}SNR_o=\frac{|s_o(t)|^2}{P_{no}(f)}\\ got{\quad}H(f)=KS^*(f)e^{-j2{\pi}ft0}\\ also{\quad}h(t)=Ks(t_0-t)

匹配滤波器(相关器)的输出:so(t)=KR(tt0)s_o(t)=KR(t-t_0),有so(t0)=KR(0)=KEs_o(t_0)=KR(0)=KE

匹配滤波器输出在抽样时刻的一维概率密度函数:

so(t0)=KR(0)=KEPno=N02+H(f)2df=K2N0E2输出信号瞬时值:s_o(t_0)=KR(0)=KE\\ 输出噪声平均功率:P_{no}=\frac{N_0}{2}\int_{-\infin}^{+\infin}|H(f)|^2d_f=\frac{K^2N_0E}{2}

上面的我都明白,但是不明白为啥KEKE就是均值,PnoP_{no}就是方差。

窄带高斯白噪声

……

循环平稳随机过程

定义:随机过程s(t)的均值和自相关函数在时间上都是周期函数。

平稳随机过程X(t)和cos(2πfct)\cos(2{\pi}f_ct)同时通过乘法器,输出响应Y(t)=X(t)cos(2πfct)Y(t)=X(t)\cos(2{\pi}f_ct)是循环平稳随机过程,原因如下:

  • 均值:E[Y(t)]=...=mXcos(2πfct)E[Y(t)]=...=m_X\cos(2{\pi}f_ct)

  • 自相关函数:

输出过程的平均功率为PY=...=12RX(0)P_Y=...=\frac{1}{2}R_X(0)

幅度调制系统的原理

调制谁?有用信号m(t),它是均值为0的基带信号。
用谁调制?载波信号Acos(2πfct)A\cos(2{\pi}f_ct)

AM调制:

sAM(t)=[A+m(t)]cos(2πfct)s_{AM}(t)=[A+m(t)]\cos(2{\pi}f_ct)

解调:

  • 包络检波器(利用电路检波)

  • 相干解调

    input:sAM(t)=[A+m(t)]cos(2πfct+ϕ0)y(t)=[A+m(t)]cos(2πfct+ϕ0).2cos(2πfct+θ0)=[A+m(t)][cos(ϕ0θ0)+cos(4πfct+ϕ0+θ0)]so(t)=[A+m(t)][cos(ϕ0θ0)] input:s_{AM}(t)=[A+m(t)]\cos(2{\pi}f_ct+\phi_0)\\ y(t)=[A+m(t)]\cos(2{\pi}f_ct+\phi_0).2\cos(2{\pi}f_ct+\theta_0)\\ =[A+m(t)][\cos({\phi_0}-{\theta_0})+\cos(4{\pi}f_ct+{\phi_0}+\theta_0)]\\ s_o(t)=[A+m(t)][\cos({\phi_0}-{\theta_0})]

频谱特性:

sAM(t)=[A+m(t)]cos(2πfct)=Acos(2πfct)+m(t)cos(2πfct)SAM(f)=A2[δ(ffc)+δ(f+fc)]+12[M(ffc)+M(f+fc)]PAM=A22+m2(t)ˉ2=P+Ps_{AM}(t)=[A+m(t)]\cos(2{\pi}f_ct)=A\cos(2{\pi}f_ct)+m(t)\cos(2{\pi}f_ct)\\ S_{AM}(f)=\frac{A}{2}[\delta(f-f_c)+\delta(f+f_c)]+\frac{1}{2}[M(f-f_c)+M(f+f_c)]\\ P_{AM}=\frac{A^2}{2}+\frac{\bar{m^2(t)}}{2}=P_{载波}+P_{双边带}

调制效率ηAM=P/PAM\eta_{AM}=P_{双边带}/P_{AM},效率并不高。主要原因是载波没有携带有用信息,但是它也会消耗功率。解决办法就是去掉载波的幅度A,也就是抑制载波的双边带调幅

DSB调制:sDSB(t)=m(t)cos(2πfct)s_{DSB}(t)=m(t)\cos(2{\pi}f_ct)

由于DSB的左右频谱是对称的,所以可以只传输一边的频带,即单边带调幅

SSB调制:sDSB(t)=m(t)cos(2πfct)s_{DSB}(t)=m(t)\cos(2{\pi}f_ct),只传输一半边的频谱。

除了AM调制,其它调制都需要用相干解调才能恢复原信号,因为对于其它调制方法来说,包络检波器只能得出m(t)|m(t)|

解调器输入噪声和输出噪声功率相等,即Pno=Pni=N0BBPFP_{no}=P_{ni}=N_0B_{BPF}

调制方式 解调器输入信号 解调器输出信号 输入信号功率 输出信号功率
AM sAM(t)=[A+m(t)]cos(2πfct)s_{AM}(t)=[A+m(t)]\cos(2{\pi}f_ct) mo(t)=m(t)m_o(t)=m(t) Si=A2/2+m2(t)/2S_i=A^2/2+m^2(t)/2 So=m2(t)S_o=m^2(t)
DSB sDSB(t)=m(t)cos(2πfct)s_{DSB}(t)=m(t)\cos(2{\pi}f_ct) mo(t)=m(t)m_o(t)=m(t) Si=m2(t)/2S_i=m^2(t)/2 So(t)=m2(t)S_o(t)=m^2(t)
SSB sSSB(t)=12[m(t)cos(2πfct)±m(t)sin(2πfct)^]s_{SSB}(t)=\frac{1}{2}[m(t)\cos(2{\pi}f_ct){\pm}\hat{m(t)\sin(2{\pi}f_ct)}] mo(t)=m(t)/2m_o(t)=m(t)/2 Si=m2(t)/4S_i=m^2(t)/4 So(t)=m2(t)/4S_o(t)=m^2(t)/4
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