通信原理

通信系统一般模型

graph LR
信源 --> 发送机
发送机  --> 信道
信道 --> 接收机
接收机 --> 信宿
噪声 --> 信道

模拟通信系统时：

• 发送机：调制
• 接收机：解调

数字通信系统时：

• 发送机：信源编码、信道编码、调制
• 接收机：解调、信道译码、信源译码

数字[模拟]通信系统的主要性能指标：

• 有效性[传输带宽]
• 可靠性[信噪比]

香农公式

$C=B\log_2^{(1+\frac{S}{N})}$

内积、能量与许瓦兹不等式

令信号x(t),y(t)为任意信号，一般情况可以是时间的复函数，称

$<x,y>=\int_{-\infin}^{+\infin}x^*(t)y(t)d_t$

为x(t),y(t)的内积、且

$\int_{-\infin}^{+\infin}x^*(t)y(t)d_t=\int_{-\infin}^{+\infin}X^*(f)Y(f)d_f$

信号与其自身的内积就是能量：$E_x=\int_{-\infin}^{+\infin}|x(t)|^2d_t$

周期信号的傅里叶级数：

$f_T(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infin}(a_n{\cos}(n{\omega_0}t)+b_n{\sin}({n\omega_0}t)){\qquad}n=0,1,2,...\\ 其中\\ a_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f_T(t)\cos(n{\omega_0}t)d_t{\qquad}n=0,1,2,...\\ b_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f_T(t)\sin(n{\omega_0}t)d_t{\qquad}n=0,1,2,...\\$

或者写成指数形式：

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}f(t)e^{-j{\omega}t}d_te^{j{\omega}t}d_{\omega}\\ F(jw)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(t)e^{-j{\omega}t}d_t{\qquad}(1)\\ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{+\infin}F(jw)e^{j{\omega}t}d_{\omega}{\qquad}(2)$

傅里叶变换

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}f(t)e^{-j{\omega}t}d_te^{j{\omega}t}d_{\omega}\\ F(jw)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(t)e^{-j{\omega}t}d_t{\qquad}(1)\\ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{+\infin}F(jw)e^{j{\omega}t}d_{\omega}{\qquad}(2)$

某个域中的面积等于另一个域中的原点，即：

$x(0)=\int_{-\infin}^{+\infin}X(f)d_f\\ X(0)=\int_{-\infin}^{+\infin}x(t)d_t$

能量信号的能量及其能量谱密度

$E=\int_{-\infin}^{+\infin}f^2(t)d_t=...=\int_{-\infin}^{+\infin}|F(f)|^2d_f\\ E(f)=|F(f)|^2$

功率信号的功率及其功率谱密度

$P(f)=lim_{T->\infin}\frac{|F(f)|^2}{T}\\ F(f)是f(t)的频谱函数\\ P=\int_{-\infin}^{+\infin}P(f)d_f$

确定信号的相关函数

能量信号x(t)与其时延X(t+$\tau$)的内积称为x(t)的自相关函数：

$R_x(\tau)=\int_{-\infin}^{+\infin}x^*(t)x(t+\tau)d_t\\ 因此有{\qquad}E_x(f)=|X(f)|^2=\int_{-\infin}^{+\infin}R_x(\tau)e^{-j{2\pi}f\tau}d_{\tau}$

确定信号通过线性系统

$y(t)=\int_{-\infin}^{+\infin}x(u)h(t-u)d_u\\ Y(f)=H(f)X(f)$

希尔伯特变换和解析信号

希尔伯特变换就是经过一个冲激响应为$\frac{1}{{\pi}t}$的线性系统，它本质是一个理想的宽带相移器。
解析信号就是$z(t)=f(t)+j\hat{f}(t)$，其中$\hat{f}(t)$是$f(t)$的希尔伯特变换，即虚部是实部的希尔伯特变换。

随机变量的统计特征

单个随机变量的统计特征：

• 分布函数、概率密度函数
• 数字特征
  1. 数学期望（统计平均值、均值）
  2. 方差（偏离程度）。且有$D[X]=E[X-E[X]]^2=E(X^2)-E^2(X)=\delta_X^2$

多个随机变量的统计特征

• 联合分布函数：$F(x,y)=P(X{\le}x,Y{\le}y)$，如果$\frac{\alpha{F(x,y)}}{\alpha{x}\alpha{y}}=p(x,y)$存在，则称其为随机变量X和Y的联合概率密度函数。
• 数字特征
  1. 数学期望
     1. $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
     2. $E(XY)=E(X)E(y)$，前提是变量X和Y相互独立
  2. 方差：$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$，前提是变量X和Y相互独立
  3. 相关函数：$R(X,Y)=E(XY)=\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}xyp(x,y)d_xd_y$
  4. 协方差函数：$C(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}=R(X,Y)-m_Xm_Y$
  5. 归一化协方差函数（相关系数）：${\rho}_{XY}=\frac{C(X,Y)}{{\delta_X}{\delta_Y}}$

随机过程的统计特征

一个随机过程的统计特征

• 数学期望（统计平均值）：$E[X(t)]=\int_{-\infin}^{+\infin}xp(x;t)d_t=m_X(t)$
• 方差：$D[X(t)]=E[X^2(t)]-E^2[X(t)]=\int_{-\infin}^{+\infin}x^2p(x;t)d_x-m_X^2(t)$
• 自相关函数：$R_X(t_1,t_2)=E[X(t_1)X(t_2)]=\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}x_1x_2p(x_1,x_2;t_1,t_2)d_{x_1}d_{x_2}$
• 自协方差：$C_X(t_1,t_2)=E[X(t_1)X(t_2)]-m_X(t_1)m_X(t_2)$
• 归一化协方差函数：${\rho}_X(t_1,t_2)=\frac{C_X(t_1,t_2)}{{\delta}_X(t_1){\delta}_X(t_2)}$

两个随机过程的统计特征

……

平稳随机过程

严平稳随机过程定义：随机过程X(t)的任意n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。

宽平稳随机过程的定义：①均值为常数②自相关函数仅与时间间隔相关

各态经历性：x(t)是平稳随机过程X(t)的任意一个样本函数，满足$E[X(t)]=\bar{x(t)},E[X(t)X(t+\tau)]=\bar{x(t)x(t+\tau)}$

平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数的关系

$Def：P_X(f)=lim_{T->\infin}\frac{E[|X_T(f)|^2]}{T}\\ R_X(\tau)=\int_{-\infin}^{+\infin}P_X(f)e^{j2{\pi}f\tau}d_f\\ P_X(f)=\int_{-\infin}^{+\infin}R_X(\tau)e^{-j2{\pi}f\tau}d_{\tau}\\$

高斯过程的定义及性质

随机过程的任意n维分布都是正态分布，它完全取决于n个随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数。性质如下：

1. 宽平稳和严平稳是等价的
2. 任何两个时刻的随机变量统计独立和不相关是等价的
3. 若干个高斯过程之和仍是高斯过程
4. 经过线性系统后，输出仍是高斯过程

加性高斯白噪声（AWGN）

白噪声：功率谱密度均匀分布在整个频域范围内

• 其双边功率谱表示为：$P_n(f)=N_0/2{\qquad}(-\infin<f<+\infin)$
• 单变功率谱表示为：$P_n(f)=N_0{\qquad}(0{\le}f<+\infin)$

[加性]高斯白噪声：指即服从高斯分布、功率谱密度又是均匀分布的噪声。（一般都是指零均值加性高斯白噪声）

平稳随机过程通过线性系统

什么是输入？：平稳随机过程x(t)或X(t)
输出是什么？：

$y(t)=x(t)*h(t)=\int_{-\infin}^{+\infin}x(t-\tau)h(\tau)d_{\tau}\\ or\\ Y(t)=X(t)*h(t)=\int_{-\infin}^{+\infin}X(t-\tau)h(\tau)d_{\tau}$

随机过程**Y(t)**的数学期望：

$E[X(t)]=m_xH(0)$

随机过程**Y(t)**的自相关函数：

$R_Y(t_1,t_1+\tau)=\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}h(\alpha)h(\beta)R_X(\tau+\alpha-\beta)d_{\alpha}d_{\beta}$

随机过程**Y(t)**的功率谱密度：

$P_Y(f)=|H(f)|^2P_X(f)$

匹配滤波器

定义：采用一种线性滤波器，当信号和加性高斯白噪声通过它时，在某一特定抽样时刻，输出信噪比（信号瞬时功率与噪声平均功率之比）达到最大，此时这种线性滤波器就是匹配滤波器。

输入是什么？信号+噪声，即$s(t)+n_W(t)$，且噪声是加性高斯白噪声。
目标是什么？找到输出信噪比（信号瞬时功率与噪声平均功率之比）最大的线性滤波器。
怎么找？如下：

$s_o(t)=\int_{-\infin}^{+\infin}S_o(f)e^{j2{\pi}ft}d_f=\int_{-\infin}^{+\infin}S(f)H(F)e^{j2{\pi}ft}d_f\\ P_{no}(f)=P_{io}(f)|H(f)|^2=\frac{N0}{2}|H(f)|^2\\ min{\quad}SNR_o=\frac{|s_o(t)|^2}{P_{no}(f)}\\ got{\quad}H(f)=KS^*(f)e^{-j2{\pi}ft0}\\ also{\quad}h(t)=Ks(t_0-t)$

匹配滤波器（相关器）的输出：$s_o(t)=KR(t-t_0)$，有$s_o(t_0)=KR(0)=KE$

匹配滤波器输出在抽样时刻的一维概率密度函数：

$输出信号瞬时值：s_o(t_0)=KR(0)=KE\\ 输出噪声平均功率：P_{no}=\frac{N_0}{2}\int_{-\infin}^{+\infin}|H(f)|^2d_f=\frac{K^2N_0E}{2}$

上面的我都明白，但是不明白为啥$KE$就是均值，$P_{no}$就是方差。

窄带高斯白噪声

……

循环平稳随机过程

定义：随机过程s(t)的均值和自相关函数在时间上都是周期函数。

平稳随机过程X(t)和$\cos(2{\pi}f_ct)$同时通过乘法器，输出响应$Y(t)=X(t)\cos(2{\pi}f_ct)$是循环平稳随机过程，原因如下：

• 均值：$E[Y(t)]=...=m_X\cos(2{\pi}f_ct)$

• 自相关函数：

  $$

  $$

输出过程的平均功率为：$P_Y=...=\frac{1}{2}R_X(0)$

幅度调制系统的原理

调制谁？有用信号m(t)，它是均值为0的基带信号。
用谁调制？载波信号$A\cos(2{\pi}f_ct)$

AM调制：

$s_{AM}(t)=[A+m(t)]\cos(2{\pi}f_ct)$

解调：

• 包络检波器（利用电路检波）

• 相干解调

  $input:s_{AM}(t)=[A+m(t)]\cos(2{\pi}f_ct+\phi_0)\\ y(t)=[A+m(t)]\cos(2{\pi}f_ct+\phi_0).2\cos(2{\pi}f_ct+\theta_0)\\ =[A+m(t)][\cos({\phi_0}-{\theta_0})+\cos(4{\pi}f_ct+{\phi_0}+\theta_0)]\\ s_o(t)=[A+m(t)][\cos({\phi_0}-{\theta_0})]$

频谱特性：

$s_{AM}(t)=[A+m(t)]\cos(2{\pi}f_ct)=A\cos(2{\pi}f_ct)+m(t)\cos(2{\pi}f_ct)\\ S_{AM}(f)=\frac{A}{2}[\delta(f-f_c)+\delta(f+f_c)]+\frac{1}{2}[M(f-f_c)+M(f+f_c)]\\ P_{AM}=\frac{A^2}{2}+\frac{\bar{m^2(t)}}{2}=P_{载波}+P_{双边带}$

调制效率$\eta_{AM}=P_{双边带}/P_{AM}$，效率并不高。主要原因是载波没有携带有用信息，但是它也会消耗功率。解决办法就是去掉载波的幅度A，也就是抑制载波的双边带调幅。

DSB调制：$s_{DSB}(t)=m(t)\cos(2{\pi}f_ct)$

由于DSB的左右频谱是对称的，所以可以只传输一边的频带，即单边带调幅。

SSB调制：$s_{DSB}(t)=m(t)\cos(2{\pi}f_ct)$，只传输一半边的频谱。

除了AM调制，其它调制都需要用相干解调才能恢复原信号，因为对于其它调制方法来说，包络检波器只能得出是$|m(t)|$。

解调器输入噪声和输出噪声功率相等，即$P_{no}=P_{ni}=N_0B_{BPF}$